原码、反码、补码相关知识总结

(1)原码表示法
原码表示法是机器数的一种简单的表示法。其符号位用0表示正号,用1表示负号,数值一般用二进制形式表示。设有一数为x,则原码表示可记作[x]原。

例如:

X1= +1010110 X2= -1001010

其原码记作:

[X1]原=[+1010110]原=01010110
[X2]原=[-1001010]原=11001010

原码表示数的范围与二进制位数有关。

a. 当用8位二进制来表示小数原码时,其表示范围:
最大值为0.1111111,其真值约为(0.99)10
最小值为1.1111111,其真值约为(一0.99)10

b. 当用8位二进制来表示整数原码时,其表示范围:
最大值为01111111,其真值为(127)10
最小值为11111111,其真值为(-127)10

在原码表示法中,对0有两种表示形式:

[+0]原=00000000
[-0 ] 原=10000000

数的原码与真值之间的关系比较简单,是与真值最接近的一种表示方法,但原码的最大缺点是在机器中进行回头运算时比较复杂。

(2)反码表示法
机器数的反码可由原码得到。如果机器数是正数,则该机器数的反码与原码一样;如果机器数是负数,则该机器数的反码是对它的原码(符号位除外)各位取反而得到的。设有一数X,则X的反码表示记作[X]反。

例如:

X1= +1010110 X2= 一1001010

其原码及反码表示如下:


[X1]原=01010110
[ X1 ] 反=[X1]原=01010110

[X2]原=11001010
[X2]反=10110101

反码通常作为求补过程的中间形式,即在一个负数的反码的未位上加1,就得到了该负数的补码。

反码运算在最高位有进位时,要在最低位+1,即需要多进行一次加法运算,增加了复杂性,影响执行速度。

(3)补码表示法
机器数的补码可由原码得到。如果机器数是正数,则该机器数的补码与原码一样;如果机器数是负数,则该机器数的补码是对它的原码(除符号位外)各位取反,并在未位加1而得到的。设有一数X,则X的补码表示记作[X]补。

例如:

[X1]=+1010110 [X2]= 一1001010

其原码及补码表示如下:


[X1]原=01010110
[X1]补=01010110 即 [X1]原=[X1]补=01010110

[X2]原=11001010
[X2]补=10110101+1=10110110

补码表示数的范围与二进制位数有关。

a. 当采用8位二进制表示时,小数补码的表示范围:
最大为0.1111111,其真值为(0.99)10
最小为1.0000000,其真值为(一1)10

b. 当采用8位二进制表示时,整数补码的表示范围:
最大为01111111,其真值为(127)10
最小为10000000,其真值为(一128)10

在补码表示法中,0只有一种表示形式:
[+0]补=00000000
[-0]补=11111111+1=00000000(由于受设备字长的限制,最后的进位丢失)

所以有[+0]补=[-0]补=00000000

补码是计算机主要使用的数据表示方法。

下文解释了为什么8位的二进制补码范围是-128-127,而不是-127-127:

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负)。这就是机器数的原码了。假设机器能处理的位数为8,即字长为1byte,原码能表示数值的范围为 (-127~-0 +0~127)共256个。

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算,但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下:

假设字长为8bits


( 1 )10 – ( 1 )10= ( 1 )10 + ( -1 )10= ( 0 )10

(00000001)原+ (10000001)原= (10000010)原= ( -2 )

显然不正确。

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:


( 1 )10 – ( 1 )10= ( 1 )10 + ( -1 )10= ( 0 )10

(00000001)反+ (11111110)反= (11111111)反= ( -0 )

有问题。


( 1 )10- ( 2)10= ( 1 )10+ ( -2 )10= ( -1 )10

(00000001)反+ (11111101)反= (11111110)反= ( -1 )

正确。

问题出现在(+0)和(-0)上。在人们的计算概念中零是没有正负之分的。(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大)。于是就引入了补码概念。负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)

另一种解释:
因为8位的二进制补码的第一位一定是1
(11111111)补=-128

虽然“-0”也是“0”,但根据正、反、补码体系,“-0”的补码和“+0”是不同的,这样就出现两个补码代表一个数值的情况。为了将补码与数字一一对应,所以人为规定“0”一律用“+0”代表。同时为了充分利用资源,就将原来本应该表示“-0”的补码规定为代表-128。

整理自网络。

参考链接:http://zh.wikipedia.org/wiki/二補數

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